Question

某廠家生產(chǎn)一種精密儀器，已知該工廠每日生產(chǎn)的產(chǎn)品最多不超過30件，且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（x∈N^*）之間的關系為p（x）=，每生產(chǎn)一件正品盈利2 000元，每生產(chǎn)一件次品虧損1 000元．已知若每日生產(chǎn)10件，則生產(chǎn)的正品只有7件．（注：正品率=產(chǎn)品的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%）
（1）求日利潤y（元）與日產(chǎn)量x（件）之間的函數(shù)關系式；
（2）求該工廠的日產(chǎn)量為多少件時，日利潤最大？并求出日利潤的最大值．

Answer 1

解：（1）∵在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（x∈N^*）之間的關系為p（x）=，
每日生產(chǎn)10件，則生產(chǎn)的正品只有7件
∴，∴m=2200，∴p（x）=
∴y=2000••x-1000•（1-）•x=1200x-x³，
（2）y′=1200-3x²=0，∴x=20
∴函數(shù)在（0，20）上單調(diào)遞增，在（20，）上單調(diào)遞減
∴x=20時，函數(shù)取得極大值，即為最大值，最大值為16000元．
分析：（1）利用每日生產(chǎn)10件，則生產(chǎn)的正品只有7件，確定m的值，利用每生產(chǎn)一件正品盈利2 000元，每生產(chǎn)一件次品虧損1 000元，可得日利潤y（元）與日產(chǎn)量x（件）之間的函數(shù)關系式；
（2）求導數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求極值，即可得到結論．
點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．