已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+4y-96=0,有下列結(jié)論:
①x+y的最小值為-10
2
-2
;
②對(duì)任意實(shí)數(shù)m,方程(m-2)x-(2m+1)y+16m+8=0(m∈R)與題中方程必有兩組不同的實(shí)數(shù)解;
③過點(diǎn)M(0,18)向題中方程所表示曲線作切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為y=3;
④若x,y∈N*,則xy的值為36或32.
以上結(jié)論正確的有
 
(用序號(hào)表示)
分析:根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的參數(shù)方程,由x+y=-2+10
2
sin(θ+45°)≥-2-10
2
,故①正確.
方程(m-2)x-(2m+1)y+16m+8=0表示過點(diǎn)(0,8)的直線系,而點(diǎn)(0,8)在圓的外部,故直線和圓可能相切、相離.
由圓的對(duì)稱性、切線的對(duì)稱性知,A,B關(guān)于y軸對(duì)稱,求出點(diǎn)M到AB的距離為15,故AB的方程為 y=18-15=3.
利用圓x2+(y+2)2=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有(6,6),(8,4),從而得到x,y∈N*時(shí)xy的值.
解答:解:方程x2+y2+4y-96=0 即 x2+(y+2)2=100,表示以(0,-2)為圓心,以10為半徑的圓.
令x=10cosθ,y=-2+10sinθ,有x+y=-2+10
2
sin(θ+45°)≥-2-10
2
,故①正確.
方程(m-2)x-(2m+1)y+16m+8=0(m∈R) 即 m(x-2y+16)-(2x+y-8)=0,表示過x-2y+16=0 與
2x+y-8=0交點(diǎn)(0,8)的直線系,而點(diǎn)(0,8)在圓的外部,故有的直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn),有的直線和圓有一個(gè)交點(diǎn),
有的直線和圓沒有有交點(diǎn),故②不正確.
過點(diǎn)M(0,18)向題中方程所表示曲線作切線,切點(diǎn)分別為A,B,由圓的對(duì)稱性、切線的對(duì)稱性知,A,B關(guān)于y軸
對(duì)稱.切線MA=
202-102
=10
3
,MA 與y軸的夾角為30°,點(diǎn)M到AB的距離為MA•cos30°=15,
故AB的方程為 y=18-15=3,故③正確.
圓x2+(y+2)2=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有(6,6),(8,4),若x,y∈N*,則xy的值為36或32,故④正確.
綜上,①③④正確
,故答案為:①③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查元的標(biāo)準(zhǔn)方程,參數(shù)方程,直線系方程,切線長(zhǎng)的計(jì)算方法,判斷②不正確是解題的難點(diǎn).
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