Question

已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；

(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝loga(其中a＞0且a≠1)．記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn＋1的大小，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）bn＝3n－2.（2）當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞logabn＋1，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn＋1

【解析】(1)設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d，

由題意得?∴bn＝3n－2.

(2)由bn＝3n－2，知Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga

＝loga

而logabn＋1＝loga，于是，比較Sn與logabn＋1的大小?比較

(1＋1)與的大小.

取n＝1，有1＋1＝>＝，

取n＝2，有(1＋1)>>＝.

推測(1＋1)…＞，(*)

①當(dāng)n＝1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立；

②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1＋1)＞，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

(1＋1)>.

∵－＝>0，∴，

從而(1＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(*)式成立．由①②知(*)式對任意正整數(shù)n都成立．于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞logabn＋1，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn＋1