在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),分別為橢圓的左右焦點(diǎn).已知△為等腰三角形.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),是直線上的點(diǎn),滿足,求點(diǎn)的軌跡方程.
(1) ; (2) .
【解析】
試題分析:(1)設(shè)出焦點(diǎn),由條件為等腰三角形,分析出,代入兩點(diǎn)間距離公式,利用消去,得a、c的關(guān)系,得出e的值;(2)由得,,推出橢圓方程,由即,,得,得,與橢圓:聯(lián)立得交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再表示,代入中,整理得點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析:(1)設(shè),
由題意,可得,即, 2分
整理得,得 (舍)或,所以. 4分
(2)由(1)知,,可得橢圓方程為.
直線方程為 5分
兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組,消去y并整理得 6分
解得得方程組的解, 8分
不妨設(shè),,設(shè)的坐標(biāo)為
則,, 10分
由得.
于是, 11分
由得,
化簡(jiǎn)得, 13分
將代入得,
由得.因此,點(diǎn)的軌跡方程是. 14分
考點(diǎn):1.兩點(diǎn)間距離公式;2.斜率公式.
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