Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（+mx）（m∈R）．

（Ⅰ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若m為正整數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞lnx++，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=±1（Ⅱ）5

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出m的值，

（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ln（1+m）＞+，令g（t）=ln（1+t）-，則g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，代值驗(yàn)證即可

解：（Ⅰ）存在，m=±1，

理由如下：∵f（x）=ln（+mx），

∴f（-x）=ln（-mx），

∵f（x）為奇函數(shù)，

∴f（-x）=-f（x），

即ln（-mx）=-ln（+mx），

即ln（（1-m2）x2+1）=0恒成立，

∴m=±1，

檢驗(yàn)：當(dāng)m=±1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)，

（Ⅱ）由題意得：當(dāng)x＞0時(shí)，ln（+mx）＞lnx++，

即ln（+m）＞+，

y=ln（+m）單調(diào)遞減，

∴l(xiāng)n（+m）＞ln（1+m），

即只要ln（1+m）＞+，

令g（t）=ln（1+t）-，則g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)m=1時(shí)，ln2＞1+不成立，

當(dāng)m=2時(shí)，ln3＞+不成立，

當(dāng)m=3時(shí)，ln4＞+不成立，

當(dāng)m=4時(shí)，ln5＞+不成立，

當(dāng)m=5時(shí)，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞+=1.7成立，

故正整數(shù)m的最小值是5