Question

已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求實數k的最小值；
（3）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，確定函數的單調性，求得函數的最小值，利用函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，即可求得a的值；
（2）當k≤0時，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意；當k＞0時，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，求導函數，令g′（x）=0，可得x₁=0，，分類討論：①當k≥時，，g（x）在（0，+∞）上單調遞減，g（x）≤g（0）=0；②當0＜k＜時，，對于，g′（x）＞0，因此g（x）在上單調遞增，，由此可確定k的最小值；
（3）當n=1時，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，不等式成立；當n≥2時，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x²，從而可得，由此可證結論．
解答：（1）解：函數的定義域為（-a，+∞），求導函數可得
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a時，函數取得極小值且為最小值
∵函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1
（2）解：當k≤0時，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意
當k＞0時，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求導函數可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x₁=0，
①當k≥時，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上單調遞減，從而對任意的x∈[0，+∞），總有g（x）≤g（0）=0，即對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
②當0＜k＜時，，對于，g′（x）＞0，因此g（x）在上單調遞增，
因此取時，g（x）≥g（0）=0，即有f（x）≤kx²不成立；
綜上知，k≥時對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，k的最小值為
（3）證明：當n=1時，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，所以不等式成立
當n≥2時，
在（2）中，取k=，得f（x）≤x²，∴（i≥2，i∈N^*）．
∴=f（2）+＜2-ln3+=2-ln3+1-＜2
綜上，（n∈N^*）．
點評：試題分為三問，題面比較簡單，給出的函數比較常規(guī)，因此入手對于同學們來說沒有難度，第二問中，解含參數的不等式時，要注意題中參數的討論所有的限制條件，從而做到不重不漏；第三問中，證明不等式，應借助于導數證不等式的方法進行．