Question

設(shè)無窮數(shù)列{a_n}，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)?（無論多小），總存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)，恒有|a_n-A|＜?成立，就稱數(shù)列{a_n}的極限為A，則四個(gè)無窮數(shù)列：
①{（-1）ⁿ×2}；
②{n}；
③{1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

}；
④{

2n+1

n

}，
其極限為2共有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限

專題：計(jì)算題,綜合題

分析：①是擺動(dòng)數(shù)列，無極限；②為遞增數(shù)列，無極限；③先利用等比數(shù)列的求和公式求和，然后可知其極限為2；④化簡后可知其極限為2．

解答： 解：對于①，數(shù)列{（-1）ⁿ×2}為擺動(dòng)數(shù)列，-2，2，-2，2，-2，2，…，∴數(shù)列沒有極限；
對于②，數(shù)列{n}為遞增數(shù)列，∴數(shù)列沒有極限；
對于③，∵1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
∴存在常數(shù)2，對于任意給定的正數(shù)?（無論多�。�，總存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)，恒有|a_n-A|＜?成立，數(shù)列{1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

}的極限為2；
對于④，∵

2n+1

n

=2+

1

n

，
∴存在常數(shù)2，對于任意給定的正數(shù)?（無論多�。�，總存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)，恒有|a_n-A|＜?成立，數(shù)列{

2n+1

n

}的極限為2．
∴極限為2共有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列極限的概念，關(guān)鍵是對數(shù)列極限概念的理解，是中檔題．