Question

已知函數f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值（用a表示）；
（2）記g（x）=f（x）-2a²，如果函數g（x）有零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把函數f（x）化簡為f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，則f（x）可看作關于t的二次函數，根據x的范圍求出t的范圍，再利用二次函數求最值的方法求出f（x）的最小值．
（2）關于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0把t與a分離，利用函數的單調性求范圍即可．

解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，則當x∈[-1，1]時，t關于x的函數是單調遞增
∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，此時f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2
當a＜-

3

2

時，f（x）_min=f（-

3

2

）=2a²+3a+

17

4

當-

3

2

≤a≤

3

2

時，f（x）_min=a²+2
當a＞

3

2

時，f（x）_min=f（

3

2

）=2a²-3a+

17

4

．
（2）函數g（x）有零點，則方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，而t≠0
∴2a=t+

2

t

，
令y=t+

2

t

，則y′=1-

2

t2

，∴函數在（0，

2

）上單調遞減，（

2

，

3

2

）上單調遞增
∴t+

2

t

≥2

2

∵t+

2

t

為奇函數，∴當t∈（-

3

2

，0）時，t+

2

t

≤-2

2

∴a的取值范圍是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．

點評：本題考查二次函數與其它函數的復合函數的最值的求法，考查函數的零點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．