Question

8．若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． $-\frac{15}{2}$
• C． $\frac{15}{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答 解：如圖所示，
A（$\frac{3}{2}$，0），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（-$\frac{3}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（3，0），
∴$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{1}{2}$（3，0）=（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$=-1×（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、等邊三角形的性質(zhì)，屬于中檔題．