Question

甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一方比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意將第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的兩種情況分析得到，然后利用互斥事件的概率公式求解; （Ⅱ）依題意知X的所有可能取值,然后利用獨(dú)立事件的概率公式求解概率.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止，故，      3分
解得或.又，所以.      5分
（Ⅱ）依題意知X的所有可能取值為2,4,6。    6分
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠�，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為，若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響，從而有
，
，
，    9分
則隨機(jī)變量的分布列為

X	2	4	6
P

故.    12分