在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)一周,記以AB為母線的圓錐為M1,記以AC為母線的圓錐為M2,m是圓錐M1任一母線,則圓錐M2的母線中與m垂直的直線有________條.
2
分析:以圓錐底面圓心O為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)圓錐M
1母線為BA,圓錐M
2的母線為CP,其中P(x,y,0),則有
,通過方程解的個數(shù)確定直線條數(shù).
解答:作AO⊥BC于O,設(shè)不妨設(shè)m=AB,以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=1,,∠ABC=45°,則AO=BO=
,又∠ACB=60°∴OC=
,∴A(
),B(0,0,
)C(0,0,
) P(x,y,0),
=(-
,0,
),
=(x,y,
)
若母線AB⊥CP,則
∴-
x+
×
=0,解得x=
,又P在以O(shè)為圓心的圓周上,∴x
2+y
2=
,解得y=
,
P有兩個位置使母線AB⊥CP,即圓錐M
2的母線中與m垂直的直線有 兩條.
故答案為:2
點評:本題考查直線垂直的判定,利用向量數(shù)量積運算,降低了思維難度,使問題容易獲解.