Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的內(nèi)接等邊三角形的面積為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）試求拋物線(xiàn)的方程；

（2）已知點(diǎn)兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

①求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；

②過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，試求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明其軌跡是何種曲線(xiàn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②，是以為直徑的圓（除去點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|＝|OB|，可得2pxA2pxB，化簡(jiǎn)可得：點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．因此AB⊥x軸，且∠AOx＝30°．可得yA＝2p，再利用等邊三角形的面積計(jì)算公式即可得出；

（2）①由題意可設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為：x＝my+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）．與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立化為：y2﹣my﹣a＝0，利用∠PMQ＝90°，可得0利用根與系數(shù)的關(guān)系可得m，或（m），進(jìn)而得出結(jié)論；

②設(shè)N（x，y），根據(jù)MN⊥NH，可得0，即可得出．

（1）解依題意，設(shè)，，

則由，得，

即，

因?yàn)?/span>，，所以，

故，，

則，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以軸，且，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

故，，

故拋物線(xiàn)的方程為.

（2）①證明 由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

，，

由，消去，得，

故，，.

因?yàn)?/span>，所以.

即.

整理得，

，

即，

得，

所以或.

當(dāng)，即時(shí)，

直線(xiàn)的方程為，

過(guò)定點(diǎn)，不合題意舍去.

故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

②解 設(shè)，則，即，

得，

即，

即軌跡是以為直徑的圓（除去點(diǎn)）.