Question

設(shè)實數(shù)a＜b，已知函數(shù)f（x）=（x-a）²-a，g（x）=（x-b）²-b，令F（x）=

f(x)，f(x)＜g(x) g(x)，f(x)≥g(x)

，若函數(shù)y=F（x）+x+a-b有三個零點，則b-a的值是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得y=F（x）的圖象和直線y=-x+b-a有3個交點．由f（x）=g（x），求得x=

b+a-1

2

，把x=

b+a-1

2

 代入直線y=-x+b-a，求得點A（

b+a-1

2

，

b-3a+1

2

）．再根據(jù)點A在函數(shù)f（x）的圖象上，可得

b-3a+1

2

=（

b+a-1

2

-a）²-a，由此求得b-a的值．

解答： 解：根據(jù)函數(shù)y=F（x）+x+a-b有三個零點，故y=F（x）的圖象和直線y=-x+b-a有3個交點．
由f（x）=g（x），求得x=

b+a-1

2

，故函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖象的交點A的橫坐標為

b+a-1

2

，
把x=

b+a-1

2

 代入直線y=-x+b-a可得y=

b-3a+1

2

，故點A（

b+a-1

2

，

b-3a+1

2

）．
再根據(jù)點A在函數(shù)f（x）的圖象上，可得

b-3a+1

2

=（

b+a-1

2

-a）²-a，
化簡可得 （b-a）²-4（b-a）-1=0，再結(jié)合實數(shù)a＜b，可得 b-a=2+

5

，
故答案為：2+

5

．

點評：本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．