Question

已知函數(shù)（是不為零的實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若曲線與有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時k的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）．

 （2）當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)曲線與有共同切線的公共點為，

則．     1分

又曲線與在點處有共同切線，

且，，  2分

∴，                      3分

  解得 ．                           4分

 （2）由得函數(shù)，

所以                     5分

．               6分

又由區(qū)間知，，解得，或．                     7分

①當時，由，得，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，                      8分

要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

則有                           9分

解得．                  10分

②當時，由，得，或，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，             11分

要使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

則有，或，                   12分

這兩個不等式組均無解.                        13分

綜上，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.  14分

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極（最值）值。

點評：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中的基本問題，（1）運用“函數(shù)在某點的切線斜率，就是該點的導(dǎo)數(shù)值”，確定直線的斜率。通過研究導(dǎo)數(shù)值的正負情況，明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。確定函數(shù)的最值，往往遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，計算極值、端點函數(shù)值，比較大小確定最值”。本題較難，主要是涉及參數(shù)K的分類討論，不易把握。