已知f(x)=acosx+bsinx+c(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),(
π
2
,1)
,當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),恒有|f(x)|≤2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:先根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),(
π
2
,1)
,得出a,b,c的關(guān)系,將原函數(shù)只用一個(gè)參數(shù)來(lái)表示,再結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值列不等關(guān)系,最后解不等式即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:由題意,得
a+c=1?c=1-a
b+c=1?b=1-c=a
(3分)∴f(x)=a(cosx+sinx)+1-a=
2
asin(x+
π
4
)+1-a
(5分)
當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),x+
π
4
∈[
π
4
4
]
,sin(x+
π
4
)∈[
2
2
,1]
(8分)
由|f(x)|≤2,得|
2
a+1-a|≤2
(12分)
-2≤(
2
-1)a+1≤2?-
3
2
-1
≤a≤
1
2
-1

解得-3
2
-3≤a≤
2
+1
(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正弦函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)恒成立問(wèn)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對(duì)稱軸是x=
3
,則g(x)=asinx+cosx的初相是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知f(x)=acosx+bsinx+c(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),數(shù)學(xué)公式,當(dāng)數(shù)學(xué)公式時(shí),恒有|f(x)|≤2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=acosx+bsinx+c(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),(
π
2
,1)
,當(dāng)x∈[0,
π
2
]
時(shí),恒有|f(x)|≤2,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年安徽省六安市壽縣一中高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對(duì)稱軸是,則g(x)=asinx+cosx的初相是( )
A.
B.
C.
D.

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