設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.


解:(1)設(shè)F(-c,0),由=,知a=c.

過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,

代入橢圓方程有+=1,

解得y=±,

于是=,解得b=,

又a2-c2=b2,從而a=,c=1,

所以橢圓的方程為+=1.

(2)設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2),

由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1).

由方程組消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,

則x1+x2=-,x1x2=.

因為A(-,0),B(,0),

所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.

由已知得6+=8,解得k=±.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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 M、N是曲線y=πsin x與曲線y=πcos x的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為(　　)

(A)π   (B)π      (C)π (D)2π

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已知雙曲線-=1(a>0,b>0),過其右焦點F且垂直于實軸的直線與雙曲線交于M,N兩點,O為坐標(biāo)原點.若OM⊥ON,則雙曲線的離心率為(　　)

(A) (B)

(C) (D)

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若點O和點F分別為橢圓+=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則·的最大值為(　　)

(A)2    (B)3    (C)6    (D)8

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若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是(　　)

(A)   (B)   (C)   (D)

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如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

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橢圓E: +=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2,過F1作垂直于橢圓長軸的弦PQ,|PQ|為3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若過F1的直線l交橢圓于A,B兩點,判斷是否存在直線l使得∠AF2B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.

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如圖,已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2: +=1(a>b>0)的兩個焦點.

(1)求橢圓C2的離心率;

(2)設(shè)點Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.

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一個總體中的80個個體編號為0,1,2，…，79，并依次將其分為8個組，組號為0,1，…，7，要用(錯位)系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本．即規(guī)定先在第0組隨機抽取一個號碼，記為i，依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組中抽取個位數(shù)字為i＋k(當(dāng)i＋k<10)或i＋k－10(當(dāng)i＋k≥10)的號碼．在i＝6時，所抽到的8個號碼是________．

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