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13.已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上,C1的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上各取兩個點,將其坐標記錄于表中:
x3-242
y-230-422
(1)求C1,C2的標準方程;
(2)已知直線l過C2的焦點F并與C1交于不同的兩點M,N,且滿足OMON.求直線l的方程.

分析 (1)把拋物線C2:y2=2px(p≠0)變?yōu)?\frac{{y}^{2}}{x}=2p32\sqrt{3}$),(4,-4)在C2上,求出p,則拋物線方程可求;設橢圓C1x2a2+y22=1(a>b>0),把點(-2,0),(2,22)代入即可求得a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)當直線l的斜率不存在時,不滿足題意;當直線l的斜率存在時,設其方程為y=k(x-1),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關系求得M,N的橫縱坐標的乘積,結(jié)合OMON求得k值得答案.

解答 解:(1)設拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有y2x=2p(x≠0),
據(jù)此驗證四個點知(3,-23),(4,-4)在C2上,求得C2的標準方程為y2=4x.
設橢圓C1x2a2+y22=1(a>b>0),把點(-2,0),(2,22)代入得{4a2=12a2+122=1,
解得{a2=42=1,∴C1的標準方程為x24+y2=1;
(2)當直線l的斜率不存在時,不滿足題意;
當直線l的斜率存在時,設其方程為y=k(x-1),
與C1的交點為M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立{y=kx1x24+y2=1,消去y并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,
于是x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k211+4k2.①
∴y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=k2[4k211+4k2-8k21+4k2+1]=-3k21+4k2.②
OMON,即OMON=0,得x1x2+y1y2=0.③
將①②代入③式,得4k211+4k23k21+4k2=k241+4k2=0,
解得k=±2,
∴存在直線l滿足條件,且直線l的方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0.

點評 本題考查橢圓、拋物線的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用,體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
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