Question

【題目】已知數(shù)列，的首項(xiàng)，且滿足，，其中，設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，．

（Ⅰ）若不等式對(duì)一切恒成立，求．

（Ⅱ）若常數(shù)且對(duì)任意的，恒有，求的值．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

（ⅰ）若存在唯一正整數(shù)的值滿足；

（ⅱ）恒成立．試問(wèn)：是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整數(shù)，使得，此時(shí)，或者．

【解析】分析：（1）根據(jù)可得是公差的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的求和公式即可得出；（2）用表示出和，根據(jù)的范圍及恒等式得出，可得，從而可得結(jié)果；（3）利用條件可得，的通項(xiàng)，求出，，因?yàn)?/span>，所以，令，則，解之得，，故滿足的值為，，，根據(jù)分類(lèi)討論思想可得出的存在性.

詳解：（Ⅰ）由題設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，則，

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，所以，

，故，又因?yàn)?/span>，

得，所以，

因?yàn)?/span>，

所以，所以，

故．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，所以或者，

若時(shí)，舍去，

若時(shí)，，故，

而，因?yàn)?/span>，所以，令，則，解之得，，故滿足的值為，，，

①當(dāng)，若，則數(shù)列前為：，，，滿足，

若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，，，不滿足舍去；

若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，，，不滿足舍去；

若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，，，不滿足舍去；

②當(dāng)若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，，不滿足；

若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，，不滿足舍去；

③當(dāng)，若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，滿足；

若，則數(shù)列前項(xiàng)為：，不滿足舍去；

所以存在正整數(shù)，使得，此時(shí)，或者．