Question

（本小題滿分14分）
已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當點的橫坐標為時，為正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，
（ⅰ）證明直線過定點，并求出定點坐標；
（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（I）.（II）（�。┲本�AE過定點.（ⅱ）的面積的最小值為16.

試題分析：（I）由拋物線的定義知，
解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.
（II）（ⅰ）由（I）知，
設(shè)，
可得，即，直線AB的斜率為，
根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為，
代入拋物線方程得，
整理可得，
直線AE恒過點.
注意當時，直線AE的方程為，過點，
得到結(jié)論：直線AE過定點.
（ⅱ）由（�。┲�，直線AE過焦點，
得到，
設(shè)直線AE的方程為，
根據(jù)點在直線AE上，
得到，再設(shè)，直線AB的方程為，
可得，
代入拋物線方程得，
可求得，，
應(yīng)用點B到直線AE的距離為.
從而得到三角形面積表達式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.
試題解析：（I）由題意知
設(shè)，則FD的中點為，
因為，
由拋物線的定義知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以拋物線C的方程為.
（II）（ⅰ）由（I）知，
設(shè)，
因為，則，
由得，故，
故直線AB的斜率為，
因為直線和直線AB平行，
設(shè)直線的方程為，
代入拋物線方程得，
由題意，得.
設(shè)，則，.
當時，，
可得直線AE的方程為，
由，
整理可得，
直線AE恒過點.
當時，直線AE的方程為，過點，
所以直線AE過定點.
（ⅱ）由（�。┲�，直線AE過焦點，
所以，
設(shè)直線AE的方程為，
因為點在直線AE上，
故，
設(shè)，
直線AB的方程為，
由于，
可得，
代入拋物線方程得，
所以，
可求得，，
所以點B到直線AE的距離為


.
則的面積，
當且僅當即時等號成立.
所以的面積的最小值為16.