Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）令，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n滿足，求n的最小值；
（Ⅲ）若正整數(shù)m、r、k成等差數(shù)列，且m＜r＜k，試探究：a_m，a_r，a_k能否成等比數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n+3}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，利用，即可求得n的最小值；
（Ⅲ）利用，a_m，a_r，a_k成等比數(shù)列，建立等式，從而可得2^k-m+1=2×2^r-m，根據(jù)2^k-m+1為奇數(shù)，2×2^r-m為偶數(shù)，即可得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵S₁=2a₁-3，∴a₁=3，…（1分）
由，可得a_n+1=2a_n+3，…（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3），又a₁+3=6≠0，…（3分）
∴數(shù)列{a_n+3}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，
即；…（4分）
（Ⅱ）∵，
∴，…（5分）
∴=，…（6分）
∴等價于
∴2ⁿ⁺¹≥64
∴n≥5，…（7分）
即n的最小值為5；    …（8分）
（Ⅲ）∵，a_m，a_r，a_k成等比數(shù)列，
∴，∴（2^m-1）•（2^k-1）=（2^r-1）²
∴2^m+k-2^k-2^m=2^2r-2×2^r
由已知條件：正整數(shù)m、r、k成等差數(shù)列得m+k=2r，∴2^m+k=2^2r，
∵2^m+k-2^k-2^m=2^2r-2×2^r
∴2^m+2^k=2×2^r，…（10分）
∴上式可化為2^k-m+1=2×2^r-m，
∵m＜r＜k，m、r、k∈N^*
∴k-m，r-m∈N^*，∴2^k-m、2^r-m∈N^*，
∴2^k-m+1為奇數(shù)，2×2^r-m為偶數(shù)，因此2^k-m+1=2×2^r-m不可能成立，
∴a_m，a_r，a_k不可能成等比數(shù)列． …（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，看下學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．