Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=2a₂₀₁₃，若存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

4

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),基本不等式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項公式求出q，代入

aman

=4a₁，利用指數(shù)的運(yùn)算化簡得m+n=6，利用1的代換化簡要求的式子，由基本不等式可求出最小值．

解答： 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，
由于a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=2a₂₀₁₃，q²-q=2，
解得q=2或q=-1（舍去），
∵存在兩項a_m、a_n使得

aman

=4a₁，
∴

a1qm-1•a1qn-1

=4a₁，化簡得q^m+n-2=16，
即2^m+n-2=16=2⁴，∴m+n=6，
則

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）
=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

（5+2

n m • 4m n

）=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

4m

n

時取等號，
∴最小值是

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項公式，涉及基本不等式求最小值以及1的代換，屬中檔題．