Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．設(shè)x=α?xí)rf（x）取到最大值．
（1）求f（x）的最大值及α的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=α-

π

12

，且sinBsinC=sin²A，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）化簡函數(shù)的解析式為f（x）=1+2sin（2x-

π

3

），根據(jù)x∈[

π

4

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值以及此時a的值．
（2）由（1）知A=α-

π

12

=

π

3

，由sinBsinC=sin²A，可得bc=a²．又由余弦定理可得 （b-c）²=0，故有 b=c，三角形為等邊三角形．

解答： 解：（1）依題函數(shù)f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x=[1-cos（2x+

π

2

]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

），
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，則

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，故當 2x-

π

3

=

π

2

，即x=α=

5π

12

時，f（x）取得最大值為3．
（2）由（1）知A=α-

π

12

=

π

3

，由sinBsinC=sin²A，可得bc=a²，
又由余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，∴（b-c）²=0，∴b=c，
又 A=α-

π

12

=

π

3

，所以三角形為等邊三角形．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，余項定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．