Question

已知x∈R，用符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若函數(shù)f（x）=

[x]

x

-a（x≠0）有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）=0得

[x]

x

=a，令g（x）=

[x]

x

，作出g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=

[x]

x

-a=0得

[x]

x

=a，
①若x＞0，設(shè)g（x）=

[x]

x

，
則當(dāng)0＜x＜1，[x]=0，此時(shí)g（x）=0，
當(dāng)1≤x＜2，[x]=1，此時(shí)g（x）=

1

x

，此時(shí)

1

2

＜g(x)≤1，
當(dāng)2≤x＜3，[x]=2，此時(shí)g（x）=

2

x

，此時(shí)

2

3

＜g（x）≤1，
當(dāng)3≤x＜4，[x]=3，此時(shí)g（x）=

3

x

，此時(shí)

3

4

＜g（x）≤1，
當(dāng)4≤x＜5，[x]=4，此時(shí)g（x）=

4

x

，此時(shí)

4

5

＜g（x）≤1，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使f（x）=

[x]

x

-a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則由圖象可知

3

4

＜a≤

4

5

，
②若x＜0，設(shè)g（x）=

[x]

x

，
則當(dāng)-1≤x＜0，[x]=-1，此時(shí)g（x）=-

1

x

，此時(shí)g（x）≥1，
當(dāng)-2≤x＜-1，[x]=-2，此時(shí)g（x）=-

2

x

，此時(shí)1≤g（x）＜2，
當(dāng)-3≤x＜-2，[x]=-3，此時(shí)g（x）=-

3

x

，此時(shí)1≤g（x）＜

3

2

，
當(dāng)-4≤x＜-3，[x]=-4，此時(shí)g（x）=-

4

x

，此時(shí)1≤g（x）＜

4

3

，
當(dāng)-5≤x＜-4，[x]=-5，此時(shí)g（x）=-

5

x

，此時(shí)1≤g（x）＜

5

4

，
作出函數(shù)g（x）的圖象，
要使f（x）=

[x]

x

-a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)g（x）=a有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則由圖象可知

4

3

≤x＜

3

2

，
綜上：

3

4

＜a≤

4

5

或，

4

3

≤x＜

3

2

，
故答案為：（

3

4

，

4

5

]∪[

4

3

，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和方程之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)g（x），利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．