Question

已知函數f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

），其中x∈R，ω＞0．
（1）當ω=1時，求f（

π

3

）的值；
（2）當f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上取得最大值時x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據ω=1，得到函數f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），然后，直接求解f（

π

3

）的值；
（2）首先，化簡函數f（x）=sin（ωx+

π

3

），然后，結合周期公式，得到ω=2，再結合x∈[0，

π

4

]，從而求解相應的x的值．

解答： 解（1）∵ω=1，
∴函數f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），
∴f（

π

3

）=sin

π

3

+cos（

π

3

+

π

6

）=

3

2

+0=

3

2

，
∴f（

π

3

）的值

3

2

；
（2）∵函數f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

）
=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx
=sin（ωx+

π

3

），
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

4

]，
∴（2x+

π

3

）∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴當2x+

π

3

=

π

2

時，即x=

π

12

時，f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上取得最大值1．

點評：本題主要考查了簡單角的三角函數值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數的圖象與性質等知識，考查了運算求解能力，屬于中檔題．