Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當a=1時，設函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）．記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導函數(shù)，令f′（x）＞0，可得函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，可得單調遞減區(qū)間；
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內單調遞增，在（-1，0）內單調遞減，從而函數(shù)在（-2，0）內恰有兩個零點，由此可求a的取值范圍；
（3）a=1時，f（x）=，由（1）知，函數(shù)在（-3，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，再進行分類討論：①當t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調遞增，在[-1，t+3]上單調遞減，因此函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者，從而可得g（t）在[-3，-2]上的最小值；②當t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，從而可確定函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．
解答：解：（1）求導函數(shù)可得f′（x）=（x+1）（x-a），令f′（x）=0，可得x₁=-1，x₂=a＞0
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞a；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜a
故函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調遞減區(qū)間為（-1，a，）
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間（-2，-1）內單調遞增，在（-1，0）內單調遞減，從而函數(shù)在（-2，0）內恰有兩個零點，
∴，∴，∴0＜a＜
∴a的取值范圍為；
（3）a=1時，f（x）=，由（1）知，函數(shù)在（-3，-1）上單調遞增，在（-1，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增
①當t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上單調遞增，在[-1，t+3]上單調遞減
因此函數(shù)在[t，t+3]上的最大值為M（t）=f（-1）=-，而最小值m（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當t∈[-3，-2]時，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）
而f（t）在[-3，-2]上單調遞增，因此f（t）≤f（-2）=-，所以g（t）在[-3，-2]上的最小值為
②當t∈[-2，-1]時，t+3∈[1，2]，-1，1∈[t，t+3]，下面比較f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大�。�
由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上單調遞增，有
f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）
∵f（1）=f（-2）=-，f（-1）=f（2）=-
∴M（t）=f（-1）=-，m（t）=f（1）=-
∴g（t）=M（t）-m（t）=
綜上，函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值為．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，正確求導與分類討論是解題的關鍵．