Question

若F₁、F₂為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P及N （2，

3

）均在雙曲線上，M在C的右準(zhǔn)線上，且滿足

F1O

=

PM

，

OP • OM

| OP |•| OM |

=

OF1 • OP

| OF1 |•| OP |

．
（1）求雙曲線C的離心率及其方程；
（2）設(shè)雙曲線C的虛軸端點(diǎn)B₁、B₂（B₁在y軸的正半軸上），點(diǎn)A，B在雙曲線上，且

B2A

=λ

B2B

，當(dāng)

B1A

•

B1B

=0時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）由題知：|OF₁|=|PM|=c，∠F₁OP=∠POM，故F₁OMP是菱形，由雙曲線第一定義：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|=|OF₁|=c，故|PF₂|=2a+c，由雙曲線第二定義得：e=

|PF2|

|PM|

=

2a+c

c

，解得e=2或e=-1（舍），由此能求出雙曲線方程．
（2）由（1）知B₁（0，3），B₂（0，-3），

B2A

=λ

B2B

，故直線AB過B₂（0，-3），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

．由

B1A

•

B1B

=0，知（1+k²）x₁x₂-6k（x₁+x₂）+36=0．由此能求出直線AB的方程．

解答：解：（1）由題知：|OF₁|=|PM|=c，∠F₁OP=∠POM，∴F₁OMP是菱形，…（1分）
∵由雙曲線第一定義：|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|=|OF₁|=c，
∴|PF₂|=2a+c，
∴由雙曲線第二定義得：e=

|PF2|

|PM|

=

2a+c

c

；
∴e=2

1

e

+1，即e²-e-2=0；
解得e=2或e=-1（舍）；…（3分）
∵e=

c

a

=2，∴c=2a，
∴b²=3a²
將N（2，

3

）代入雙曲線方程得 

4

a2

-

3

3a2

=1，
∴a²=3，b²=9…（5分）
∴所求雙曲線方程為

x2

3

-

y2

9

=1…（6分）
（2）由（1）知B₁（0，3），B₂（0，-3），
∵

B2A

=λ

B2B

，∴B₂，A，B三點(diǎn)共線，即直線AB過B₂（0，-3），
∴設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

．
∵

B1A

•

B1B

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴（1+k²）x₁x₂-6k（x₁+x₂）+36=0．
將x₁+x₂和x₁x₂代入，得k=±

5

．
檢驗(yàn)滿足△＞0，
∴直線AB的方程為y=±

5

x-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線C的離心率及其方程的求法，求直線AB的方程．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．