Question

在△ABC中，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

且最長(zhǎng)邊為

5

．
（Ⅰ）求∠C的值；
（Ⅱ）求△ABC最短邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式得到tanC=tan（A+B），再利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將tanA與tanB的值代入計(jì)算求出tanC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠C的值；
（Ⅱ）根據(jù)題意得到最短邊為AC，根據(jù)tanB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，根據(jù)sinC，sinB，以及AB的值，利用正弦定理即可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：（Ⅰ）∵tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，
∴tanC=-tan（A+B）=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（Ⅱ）易知最短邊為AC，∵tanB=

1

3

，∠B為三角形內(nèi)角，
∴cosB=

1 tan2B+1

=

3 10

10

，sinB=

1-cos2B

=

10

10

，
由正弦定理

AC

sinB

=

AB

sinC

，即

AC

10 10

=

5

2 2

，
∴AC=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．