甲、乙兩地相距300千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時.已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,且比例系數(shù)為0.02;固定部分為200元.
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛?全程運輸成本最小是多少?
分析:(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為
300
v
,全程運輸成本為y=200×
300
v
+0.02v2×
300
v
=6(
10000
v
+v)

(2)由(1)知,全程運輸成本關于速度的函數(shù)表達式中出現(xiàn)了積為定值的情形,由于等號成立的條件有可能不成立,故求最值的方法不確定,對對速度的范圍進行分類討論,如等號成立時速度值不超過c,則可以用基本不等式求求出全程運輸成本的最小值,若等號成立時速度值大于最高限速v,可以判斷出函數(shù)在(0,c]上的單調(diào)性,用單調(diào)性求出全程運輸成本的最小值.
解答:解:(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為
300
v
,全程運輸成本為y=200×
300
v
+0.02v2×
300
v
=6(
10000
v
+v)
…3分
故所求函數(shù)及其定義域為y=6(
10000
v
+v)
,v∈(0,c]…4分
(2)依題意,有
10000
v
+v≥200

當且僅當
10000
v
=v
,即v=100時上式中等號成立.
而v∈(0,c],所以
當v=100∈(0,c],c≥100時,
10000
v
+v
取最小值
所以ymin=6(
10000
v
+v)≥1200

也即當v=100時,全程運輸成本y最小達到1200元.…8分
當v=100∉(0,c],即c<100時,
取v=c,y=6(
10000
v
+v)
達到最小值,即ymin=6(
10000
c
+c)

也即當v=c時,全程運輸成本y最小達到6(
10000
c
+c)
元.(…12分)
綜上知,為使全程運輸成本y最小,當c≥100時行駛速度應為100,此時運輸成本為1200元;當c<100時行駛速度應為v=c,此時運輸成本為6(
10000
c
+c)
.…12分.
點評:本小題主要考查建立函數(shù)關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識,考查綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決實際問題的能力.
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某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物,運輸成本由燃料費用和其它費用組成,已知該貨輪每小時的燃料費用與其航行速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.5),其它費用為每小時800元,且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時.
(Ⅰ)請將從甲地到乙地的運輸成本y(元)表示為航行速度x(海里/小時)的函數(shù);
(Ⅱ)要使從甲地到乙地的運輸成本最少,該貨輪應以多大的航行速度行駛?

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1
19200
v4-
1
160
v3+15v.
(1)試將全程運輸成本Q(元)表示為速度v的函數(shù);
(2)為使全程運輸成本最少,汽車應以多少速度行駛?并求此時運輸成本的最小值.

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(Ⅱ)要使從甲地到乙地的運輸成本最少,該貨輪應以多大的航行速度行駛?

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