分析 (1)直接由已知得到a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關系求出A、B中點的坐標,得到l1的垂直平分線的方程,求得P的坐標,進一步求出|PF|、|AB|得答案;
(3)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,把△OMQ與△ONQ面積之比轉(zhuǎn)化為M、N的橫坐標的比值得答案.
解答 解:(1)由題意得{a=2b=1,∴橢圓C1的方程為x24+y2=1;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),中點D(x0,y0).設直線l1的方程為x=my+√3.(−√3<m<√3),
由{x=my+√3x2+4y2=4,消去x整理得(m2+4)y2+2√3y−1=0,
則y0=y1+y22=−√3mm2+4,x0=my0+√3=4√3m2+4.
∴l(xiāng)1的垂直平分線的方程為:y-y0=-m(x-x0),即y+√3mm2+4=−m(x−4√3m2+4),
令y=0,得x=3√3m2+4.即P(3√3m2+4,0).
∴|PF|=√3−3√3m2+4=√3(m2+1)m2+4,
又|AB|=|AF|+|BF|=4(m2+1)m2+4,
∴|PF||AB|=√34;
(3)設直線l2的方程為y=kx+2,由{y=kx+2x2+4y2=4消去y,得(4k2+1)x2+16kx+12=0.
則△=256k2-48(4k2+1)>0,得k2>34.
設M(x1,y1),N(x2,y2),則S△OMQS△ONQ=|MQ||NQ|=x1x2,由題意,0<x1x2<1.
又x1+x2=−16k4k2+1,x1x2=124k2+1,
則(x1+x2)2x1x2=x1x2+x2x1+2=256k2(4k2+1)2124k2+1=64k212k2+3,
∵k2>34,∴64k212k2+3∈(4,163),∴2<x1x2+x2x1<103.
∴x1x2∈(5−√223,1),
即S△OMQS△ONQ∈(5−√223,1).
點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用,考查了運算能力,是壓軸題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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