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14.已知點P(0,-1)是橢圓C1x2a2+y22=1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)如圖1,過橢圓C1的右焦點F作直線l1交該橢圓右支于A,B兩點,弦AB的垂直平分線交x軸于P,求|PF||AB|的值.
(3)如圖2,若圓C2:x2+y2=4與y軸正半軸交于點Q,過點Q的直線l2交橢圓C1于M、N兩點,求△OMQ與△ONQ面積之比的取值范圍.

分析 (1)直接由已知得到a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關系求出A、B中點的坐標,得到l1的垂直平分線的方程,求得P的坐標,進一步求出|PF|、|AB|得答案;
(3)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,把△OMQ與△ONQ面積之比轉(zhuǎn)化為M、N的橫坐標的比值得答案.

解答 解:(1)由題意得{a=2b=1,∴橢圓C1的方程為x24+y2=1;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),中點D(x0,y0).設直線l1的方程為x=my+3.(3m3),
{x=my+3x2+4y2=4,消去x整理得m2+4y2+23y1=0
y0=y1+y22=3mm2+4,x0=my0+3=43m2+4
∴l(xiāng)1的垂直平分線的方程為:y-y0=-m(x-x0),即y+3mm2+4=mx43m2+4,
令y=0,得x=33m2+4.即P(33m2+40).
∴|PF|=333m2+4=3m2+1m2+4,
又|AB|=|AF|+|BF|=4m2+1m2+4,
|PF||AB|=34;
(3)設直線l2的方程為y=kx+2,由{y=kx+2x2+4y2=4消去y,得(4k2+1)x2+16kx+12=0.
則△=256k2-48(4k2+1)>0,得k234
設M(x1,y1),N(x2,y2),則SOMQSONQ=|MQ||NQ|=x1x2,由題意,0<x1x2<1.
x1+x2=16k4k2+1x1x2=124k2+1
x1+x22x1x2=x1x2+x2x1+2=256k24k2+12124k2+1=64k212k2+3,
k234,∴64k212k2+3∈(4,163),∴2<x1x2+x2x1103
x1x2∈(52231),
SOMQSONQ∈(52231).

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用,考查了運算能力,是壓軸題.

練習冊系列答案
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