Question

8．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，若$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=-2．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算出$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$的值，再根據(jù)$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$用$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{BD}$，求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$即可．

解答 解：平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=1×2×cos60°=1，
又$\overrightarrow{DE}=2\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=1²-$\frac{1}{3}$×1-$\frac{2}{3}$×2²=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評 本題考查了兩個向量的數(shù)量積的定義以及公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．