Question

（2013•保定一模）在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，三邊a、b、c成等差數(shù)列，且B=

π

4

，則（cosA一cosC）²的值為

2

．

Answer 1

分析：由a，b及c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將關(guān)系式利用正弦定理化簡(jiǎn)，得到sinA+sinC的值，設(shè)cosA-cosC=x，根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：∵三邊a、b、c成等差數(shù)列，且B=

π

4

，
∴2b=a+c，A+C=

3π

4

，
將2b=a+c利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=

2

，
設(shè)cosA-cosC=x，
可得：（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=2+x²，
即sin²A+2sinAsinC+sin²C+cos²A-2cosAcosC+cos²C=2-2cos（A+C）=2-2cos

3π

4

=2+x²，
則（cosA-cosC）²=x²=-2cos

3π

4

=

2

．
故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．