Question

橢圓

x2

24

+

y2

16

=1，直線l：x=12，P是l上的一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²，當(dāng)P在l上移動(dòng)時(shí)，求Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P，Q，R的坐標(biāo)由點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，Q，R共線，聯(lián)立方程組，求得x_R²和y_R²，根據(jù)點(diǎn)O、Q、P共線，求得y_p=

12y

x

，進(jìn)而代入到|OQ|•|OP|=|OR|²整理可得Q的軌跡方程．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P，Q，R的坐標(biāo)分別為（12，y_p），（x，y），（x_R，y_R），由題設(shè)知x_R＞0，x＞0，
由點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，Q，R共線，
得方程組

x R2 24 + y R2 16 =1 yR xR = y x

，解得x_R²=

48x2

2x2+3y2

①，y_R²=

48y2

2x2+3y2

②
由點(diǎn)O、Q、P共線，得

yp

12

=

y

x

，即y_p=

12y

x

由題設(shè)|OQ|•|OP|=|OR|²得

x2+y2

•

122+ y 2 p

=(

x R 2  + y R 2

) 2③
將①、②、③式代入上式，
整理得點(diǎn)Q的軌跡方程 （x-1）²+

2y2

3

=1 （x＞0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等，故平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．