Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2時求f（x）的極值；
（2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=-2時
f（x）=x²-2lnx
f′（x）=2x-=
令f′（x）=0，則x=1
又∵當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴當x=1時，f（x）_極小=f（1）=1
（2）∵f（x）=x²+alnx
∴g（x）=x²+2x+alnx
∴g′（x）=2x+2+=
∵g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即u=2x²+2x+a≥0在[1，+∞）上恒成立
∵u=2x²+2x+a在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴僅須u的最小值4+a≥0，即a≥-4即可
故實數(shù)a的取值范圍為[-4，+∞）
分析：（1）將a=-2代入，我們可以求出函數(shù)f（x）的解析式，進而求出f′（x）的解析式，令導函數(shù)等于0，求出對應的x值，并分析不同區(qū)間上函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到f（x）的極值；
（2）由已知中函數(shù)f（x）=x²+alnx．我們易根據(jù)g（x）=f（x）+2x得到函數(shù)g（x）的表達式，根據(jù)g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上單調(diào)遞增，我們易得g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而將問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)恒成立問題．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式，是解答此類問題的關鍵．