Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f(

1

2

)=1，且滿足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．對(duì)數(shù)列{x_n}有x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（2）求f（x_n）的表達(dá)式．
（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*且

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立？若存在，求出m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定義判斷．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)易知0＜x_n＜1，由主條件得f(xn)-f(-xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)和f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)得f（x_n+1）=2f（x_n）再由f（x₁）=1，得到f（x_n）是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列求解．
（3）由（2）將

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立轉(zhuǎn)化為2-

1

2n-1

＜

m-8

4

恒成立，由2-

1

2n-1

＜2得

m-8

4

≥2求解．

解答：解：（1）當(dāng)x=y=0時(shí)，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上為為奇函數(shù)．
（2）由x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

(n∈N*)易知：{x_n}中0＜x_n＜1，
∵f(xn)-f(-xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)且f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)
∴f（x_n+1）=2f（x_n）由f(

1

2

)=1，x1=

1

2

∴f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列∴f（x_n）=2^n-1
（3）

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

=1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=2-

1

2n-1

假設(shè)存在m使得

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立，即2-

1

2n-1

＜

m-8

4

恒成立，
∵2-

1

2n-1

＜2，
∴

m-8

4

≥2，
∴m≥16，
∴存在自然數(shù)m≥16，
使得

1

f(x1)

+

1

f(x2)

++

1

f(xn)

＜

m-8

4

成立，此時(shí)最小的自然數(shù)m=16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象抽象函數(shù)判斷奇偶性及求解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型研究等比數(shù)列求和解決恒成立問題．