等差數(shù)列{a
n} 的各項(xiàng)均為整數(shù),a
1=3,前n項(xiàng)和為S
n,其中S
5=35.又等比數(shù)列 {b
n}中,b
1=1,b
2S
2=64.
(1)求a
n與b
n(2)證明:
+++…+<.
分析:(1)設(shè)a
n的公差為d,b
n的公比為q,則d為正整數(shù),a
n=3+(n-1)d,b
n=q
n-1,由S
5=35.b
2S
2=64建立方程求出d,q即可得到a
n與b
n.
(2)由(1)得S
n=n(n+2),由于其倒數(shù)為
(-),故
+++…+的各易求,求出其和,利用放縮法進(jìn)行證明.
解答:解:(1)設(shè)a
n的公差為d,b
n的公比為q,則d為正整數(shù),a
n=3+(n-1)d,b
n=q
n-1(2分)
依題意有
| S5=5×3+×d=35 | S2b2=(6+d)q=64 |
| |
,
解之得d=2,q=8(4分)
a
n=2n+1,b
n=8
n-1(6分)
(2)證明:S
n=n(n+2)(8分)
++++=
++…+=
(1-+-+++…+-+-)=
(1+--)=
-<∴
+++…+<(12分)
點(diǎn)評:本題考查等差與等比數(shù)列的綜合,考查利用兩個(gè)數(shù)列的性質(zhì)建立方程求其通項(xiàng),以及利用裂項(xiàng)分求和,放縮法證明不等式,本題中裂項(xiàng)求和時(shí)要注意恒等變形,莫忘記分母上兩個(gè)數(shù)的差是2,故應(yīng)乘以
以保證兩邊相等.
練習(xí)冊系列答案
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n}的前n項(xiàng)和S
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1+a
5-a
7=4,a
8-a
2=8,則S
9等于
108
108
.
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