Question

已知不共線向量

a

，

b

滿足|

a

|=2|

b

|，且關(guān)于x的函數(shù)f（x）=-2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5在實(shí)數(shù)集R上是單調(diào)遞減函數(shù)，則向量

a

，

b

的夾角的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  π

  6

  ]
• B、（0，

  π

  3

  ]
• C、[

  2π

  3

  ，π）
• D、[

  2π

  3

  ，π]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，得f′（x）=-6x²+6|

a

|x++6

a

•

b

≤0在R上恒成立，由此建立關(guān)于|

a

|和

a

•

b

的不等式，再結(jié)合已知條件和向量數(shù)量積的公式，得向量cosθ≤-

1

2

．

解答： 解：設(shè)向量

a

，

b

的夾角為θ，
∵函數(shù)f（x）=-2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5在實(shí)數(shù)集R上是單調(diào)遞減
∴f′（x）=-6x²+6|

a

|x++6

a

•

b

≤0在R上恒成立，
△≤0，即得6|

a

|²4×6×6

a

•

b

≤0，
解之得-

1

4

|

a

|²≥

a

•

b

∵向量

a

，

b

滿足|

a

|=2|

b

|，

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ≤-

1

4

a

2，
∴cosθ≤-

1

2

，
∵θ∈[0，π]，∴向量

a

，

b

夾角為θ∈[

2π

3

，π]．
故選：D．

點(diǎn)評：本題以一個三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性討論為載體，考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算和二次不等式恒成立等知識．如果函數(shù)在某個區(qū)間單調(diào)遞減，則它的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間小于或者等于0恒成立．