Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，已知a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）．證明：
（Ⅰ）數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證數(shù)列{}是等比數(shù)列；需證（n=1，2，3，…）成立，另外應(yīng)說(shuō)明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得S_n的通項(xiàng)公式，代入a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）可得S_n+1=4a_n．說(shuō)明當(dāng)n=1時(shí)，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
解答：（I）證：由a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，），
知a₂=S₁=3a₁，，，∴
又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），則S_n+1-S_n=S_n（n=1，2，3，），
∴nS_n+1=2（n+1）S_n，（n=1，2，3，…），
故數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
（II）證明：S_n+1=4a_n．當(dāng)n=1時(shí)，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．
由（1）知：，∴S_n=n2^n-1
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．
因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1都有S_n+1=4a_n．
點(diǎn)評(píng)：要證一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，利用定義，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比為一個(gè)常數(shù)，在這兒注意，n=1時(shí)，不在其中，所以要加以說(shuō)明；同樣第二個(gè)問(wèn)題中，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…），這個(gè)式子也不包括a₁應(yīng)加以說(shuō)明．