Question

已知函數(shù)f（x）=

2-x

x+1

．
（1）用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-3^x-m=0在x∈[1，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x₀，使得f（x₀）=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義，當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，判斷f（x₁）-f（x₂）＞0，進(jìn)而證明函數(shù)的單調(diào)性．
（2）方程f（x）-3^x-m=0等價(jià)于m=f（x）-3^x，利用m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上 單調(diào)減，可求實(shí)數(shù)m的最大值為；
（3）假設(shè)存在負(fù)數(shù)x₀，則：因?yàn)閤₀為負(fù)數(shù)，所以0＜3^x＜1，所以0＜

2-x

x+1

＜1，∴

1

2

＜x＜2，從而矛盾，故可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）方程f（x）-3^x-m=0等價(jià)于m=f（x）-3^x，
由于m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上 單調(diào)減
∴m≤

1

2

-3=-2

1

2

∴實(shí)數(shù)m的最大值為-2

1

2

；
（3）不存在
假設(shè)存在負(fù)數(shù)x₀，則：因?yàn)閤₀為負(fù)數(shù)，所以0＜3^x＜1，所以0＜

2-x

x+1

＜1，
∴

1

2

＜x＜2，與前面的假設(shè)相矛盾，
所以，不存在負(fù)數(shù)x₀，使得f（x₀）=3x0成立，

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)最值的應(yīng)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值．