Question

已知不等式組

4x-3y+m≤0 x＞0 y＜0

，
（1）若該不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有且僅有一個(gè)，且在直線(xiàn)4x-3y+m=0上，則實(shí)數(shù)m=

-7

；
（2）若該不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有且僅有三個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（-13，-11]

．

Answer 1

分析：（1）作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△AB0內(nèi)部，不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有且僅有一個(gè)，必定是（-1，1），因此（-1，1）在直線(xiàn)4x-3y+m=0上，可解出m=7；
（2）記直線(xiàn)l：4x-3y+m=0，隨著l向上平移，可見(jiàn)區(qū)域內(nèi)依此出現(xiàn)點(diǎn)（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）、（-1，3），由此建立關(guān)于m的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：作出不等式組

4x-3y+m≤0 x＞0 y＜0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△AB0內(nèi)部，其中A（-

m

4

，0），B（0，

m

3

），0為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）∵不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有且僅有一個(gè)，
∴必定有（-1，1）在區(qū)域內(nèi)，故點(diǎn)（-1，1）在直線(xiàn)4x-3y+m=0上，
即4×（-1）-3×1+m=0，解之得m=7；
（2）結(jié)合直線(xiàn)的斜率k=

4

3

，平移直線(xiàn)l：4x-3y+m=0
隨著直線(xiàn)l的向上平移，區(qū)域內(nèi)依此出現(xiàn)點(diǎn)
（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）、（-1，3）
∴若該不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)有且僅有三個(gè)，必定是（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）
記F（x，y）=4x-3y+m=0，則

F(-2，1)≤0 F(-1，3)＞0

即

-8-3+m≤0 -4-9+m＞0

，解之得-13＜m≤-11
故答案為：7，-13＜m≤-11

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的不等式組，在已知區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況下求參數(shù)的值或范圍．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．