(2012•浙江模擬)已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+1)•ex
(I)當a=3時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(II)對任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)確定切點的坐標,求得切線的斜率,即可得到曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(II)先將對任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),轉(zhuǎn)化為f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),再分類討論,即可確定實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(I)當a=3時,f(x)=(x2-3x+1)•ex,∴f′(x)=(x2-x-2)•ex
∴f′(1)=-2e;
∵f(1)=-e
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+e=-2e(x-1),即2ex+y-e=0;
(II)f′(x)=(x+1)(x+1-a)•ex
記g(x)=x-lnx(x>0),則g′(x)=
x-1
x

∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)是減函數(shù)
∴g(x)min=g(1)=1-ln1=1
∵對任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
當a-1≤1,即a≤0時,顯然成立;
當a-1>-1,即a>0時,必修a-1≤1,即0<a≤2
綜上,實數(shù)a的取值范圍為a≤2.
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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