Question

設(shè)有3個(gè)投球手，其中一人命中率為q，剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為p（p，q∈（0，1）），每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．
（1）當(dāng)p=q=時(shí)，求數(shù)學(xué)期望E（ξ）及方差V（ξ）；
（2）當(dāng)p+q=1時(shí)，將ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）用p表示．

Answer 1

【答案】分析：（1）每位投球手均獨(dú)立投球一次，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等，判斷符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式進(jìn)行求解即可；
（2）由題意知每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．因?yàn)槿齻�(gè)人投球得到最多投入3個(gè)，最少0個(gè)，得到變量的可能取值，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的公式得到概率，從而得到分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．
解答：解：（1）∵每位投球手均獨(dú)立投球一次，
當(dāng)p=q=時(shí)，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等，
∴ξ～B（3，），由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果
∴Eξ=np=3×=，Dξ=np（1-p）=3×=
（2）ξ的可取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）²=pq²；
P（ξ=1）=q（1-p）²+（1-q）C₂¹p（1-p）=q³+2p²q；
P（ξ=2）=qC₂¹p（1-p）+（1-q）p²=2pq²+p³；
P（ξ=3）=qp²．
ξ的分布列為

ξ		1	2	3
P	pq2	q3+2p2q	2pq2+p3	qp2

Eξ=0×pq²+1×（q³+2p²q）+2×（2pq²+p³）+3×qp²=1+p．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與方差和二項(xiàng)分布，屬于中檔題．