Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)y在軸上，焦距為，且過(guò)點(diǎn)M。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且N恰好為AB中點(diǎn)，能否在橢圓C上找到點(diǎn)D，使△ABD的面積最大？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）（2）存在，

試題分析：（1）用橢圓的定義可求，根據(jù)焦距和可求；也可將點(diǎn)代入設(shè)出的橢圓方程解方程組求。（2）用點(diǎn)差法求直線的斜率，設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，直線與橢圓的焦點(diǎn)即為所求點(diǎn)。
試題解析：（1）（方法一）依題意，設(shè)橢圓方程為，  1分
則，                  2分
因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，所以
="4"   4分
                   5分
橢圓的方程為                 6分
（方法二）依題意，設(shè)橢圓方程為，      1分
則，即，解之得    5分
橢圓C的方程為                  6分
（2）如圖

（方法一）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
則                  7分
     ①        ②
①-②，得,
       9分
設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為
聯(lián)立方程組，消去整理得
由判別式得        12分
由圖知，當(dāng)時(shí)，與橢圓的切點(diǎn)為，此時(shí)
的面積最大

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為      14分
（方法二）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，
消去整理得 
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則
所以直線AB的方程為，即 9分（以下同法一）