Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；    
（2）①判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；②判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；   
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域；    
（2）①根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；   
（3）利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可

解答： 解：（1）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

（x∈R）．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
則0＜

1

2x+1

＜1，0＜

2

2x+1

＜2，
-2＜-

2

2x+1

＜0，
-1＜1-

2

2x+1

＜1，
即-1＜y＜1，
則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；    
（2）①∵f（x）=

2x-1

2x+1

，∴f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
②f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

（x∈R）．
∵y=2^x是增函數(shù)，
∴y=2^x+1是增函數(shù)，y=

1

2x+1

是減函數(shù)，y=-

2

2x+1

是增函數(shù)，
y=1-

2

2x+1

是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增；   
（3）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且函數(shù)單調(diào)遞增，
∴不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0等價(jià)為f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
即1-m＜m²-1，
則m²+m-2＜0，
解得-2＜m＜1，
即不等式的解集為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)是綜合考查，要求熟練掌握的基本性質(zhì)，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．