Question

已知拋物線y²=2px上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸距離大1．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)A、B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M（4、0），求|AB|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得直線x=0和準(zhǔn)線x=-

p

2

間的距離為1，由此能求出拋物線方程為y²=4x．
（2）設(shè)點(diǎn)A為（a²，2a），點(diǎn)B為（b²，2b），由k_AB•k_MD=-1，得a²+b²=4，|AB|=

(a2-b2)2+(2a-2b)2

=2

-(ab+1)2+9

，所以當(dāng)ab+1=0時(shí)，|AB|最大值為6．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=2px上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸距離大1，
∴直線x=0和準(zhǔn)線x=-

p

2

間的距離為1，
∴0-（-

p

2

）=

p

2

=1，解得p=2，
所以拋物線方程為y²=4x．
（2）設(shè)點(diǎn)A為（a²，2a），點(diǎn)B為（b²，2b），
∵AB不垂直于x軸，所以：a²≠b²．
AB的中點(diǎn)D為（

a2

2

+

b2

2

，a+b），
AB的斜率k_AB=

2a-2b

a2-b2

=

2

a+b

，
∵點(diǎn)M（4，0）在AB的垂直平分線上，
∴MD即為AB的垂直平分線，兩直線的斜率乘積為-1：
k_MD=

a+b-0

a2 2 + b2 2 -4

=

2(a+b)

a2+b2-8

，
∵k_AB•k_MD=-1，
∴

2

a+b

•

2(a+b)

a2+b2-8

=

4

a2+b2-8

=-1，
∴a²+b²=4，
|AB|=

(a2-b2)2+(2a-2b)2

=

(a2+b2)2-4a2b2+4(a2+b2)-8ab

=

16-4a2b2+16-8ab

=2

-(ab+1)2+9

，
∴當(dāng)ab+1=0時(shí)，|AB|最大值為2

0+9

=6
∴|AB|的最大值為6，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．