Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-x+2alnx有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂
（Ⅰ）求實數a的取值范圍，并寫出函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）判斷方程：f（x）=（a+1）x根的個數并說明理由；
（Ⅲ）利用消元法表示出函數f（x₂），利用導數研究函數f（x₂）的單調性，即可證明不等式．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據函數的極值和導數之間關系求出a的取值范圍，根據函數單調性和導數之間的關系即可寫出函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用導數判斷函數的極值，即可判斷方程：f（x）=（a+1）x根的個數；
（Ⅲ）證明：f（x₂）＞

-3-2ln2

8

．

解答： 解：（Ⅰ）由題設知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-1+

2a

x

=

x2-x+2a

x

，
且f′（x）=0有兩個不同的根，∴x²-x+2a=0，即2a=-x²+x且x＞0有兩個交點．
2a=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

∈（0，

1

4

）有兩個交點
求得：解得0＜a＜

1

8

，
∴a的取值范圍是（0，

1

8

）．
 又x₁=

1- 1-8a

2

，x₂=

1+ 1-8a

2

，
∴0＜x＜x₁或x＞x₂，f′（x）＞0，
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，
∴f（x）單調增區(qū)間為（0，

1- 1-8a

2

）和（

1+ 1-8a

2

，+∞）．
單調減區(qū)間為（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

）．
（Ⅱ）由已知方程：f（x）=（a+1）x，即

1

2

x²-x+2alnx-ax-x=0
∴令m（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx，
m′（x）=x-（a+2）+

2a

x

=

x2-(a+2)x+2a

x

=

(x-a)(x-2)

x

，

x	（0，a）	a	（a，2）	2	（a，+∞）
m′（x）	+	0	-	0	+
m（x）		極大值		極小值

m（a）=-

1

2

a²-2a+2alna＜0，m（2）=-2-2a+2aln2＜0，
x→0時，m（x）→-∞；
x→+∞時，m（x）→+∞；
∴m（x）有且只有1個零點，
∴原方程有且只有一個根．
（III）由（Ⅰ）可知

x1+x2=1 x1x2=2a

，
則2a=（1-x₂）x₂，
并且由

1+ 1-8a

2

得：x₂∈（

1

2

，1），
∵f（x）=

1

2

x²-x+2alnx=

1

2

x²-x+x₁x₂lnx，
f（x₂）=

1

2

x₂²-x₂+（x₂-x₂²）lnx₂，
則f′（x₂）=x₂-1+（1-2x₂）lnx₂+

x2-x22

x2

=(1-2x2)lnx2，其中x₂∈（

1

2

，1），
∴f′（x₂）＞0，函數f（x）在（

1

2

，1）遞增；
∴f（x）＞f（

1

2

）=

1

2

×

1

4

-

1

2

+(

1

2

-

1

4

)•ln

1

2

=

-3-2ln2

8

．
故f（x₂）＞

-3-2ln2

8

．

點評：本題主要考查導數的應用，要求熟練掌握函數的極值和單調性與導數之間的關系．綜合性較強，運算量較大，屬于難題．