【題目】一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈ ， ≈5.7446）
（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由．

【答案】
（1）解：設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．

△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC= = ，

∴∠BAC=17°，

∴緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊，

△ABC中，由余弦定理可得cos120°= ，∴BC≈1.68615．

B到邊界線l的距離為3.8﹣4sin30°=1.8，

∵1.68615＜1.8，

∴能最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功


（2）解：以A為原點，建立如圖所示的坐標系，則B（2，2 ），設(shè)緝私艇在P（x，y）出與走私船相遇，則PA=3PB，

即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2 ）2]，即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，

∴P的軌跡是以（ ， ）為圓心， 為半徑的圓，

∵圓心到邊界線l：x=3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，

∴無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截．


【解析】（1）設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐標系，求出P的軌跡方程，即可解決．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ）
A.2+
B.4+
C.2+2
D.5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]D，其中m＜n，同時滿足：①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]． 則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，區(qū)間[m，n]稱為“保值區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)g（x）=x2﹣2x不是定義域[0，1]上的“保值函數(shù)”．
（2）若函數(shù)f（x）=2+ ﹣ （a∈R，a≠0）是區(qū)間[m，n]上的“保值函數(shù)”，求a的取值范圍．
（3）對（2）中函數(shù)f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）當(dāng)a＜ 時，函數(shù)g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設(shè)所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，

當(dāng)為圓與軸左交點時，；

當(dāng)為圓與軸右交點時，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

設(shè)，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)時，求的最大值，并推斷方程是否有實數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)x，y，z均為正實數(shù)，且xyz=1，求證： + + ≥xy+yz+zx．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，某機械廠要將長，寬的長方形鐵皮進行裁剪．已知點為的中點，點在邊上，裁剪時先將四邊形沿直線翻折到處（點分別落在直線下方點處，交邊于點），再沿直線裁剪．

（1）當(dāng)時，試判斷四邊形的形狀，并求其面積；

（2）若使裁剪得到的四邊形面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某校從理科甲班抽取60人，從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試．
（Ⅰ）根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識成績優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類有關(guān)．

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計

甲班

乙班

30

總計

60

（Ⅱ）現(xiàn)已知A，B，C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為 ，設(shè)隨機變量X表示A，B，C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．
附： ，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，過點C作CO⊥AB，垂足為O，將△OBC沿CO折起，如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小為θ（0＜θ＜π），E，F(xiàn)分別為BC，AO的中點
（1）求證：EF∥平面ABD
（2）若θ= ，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．

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同步練習(xí)冊答案