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已知α∈(0,π 2
),β∈(π 2
,π),cos2β=-7 9
,sin(α+β)=7 9
.
(Ⅰ)求cosβ的值;
(Ⅱ)求sinα的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)β的范圍,確定cosβ<0,直接利用二倍角的余弦,求cosβ的值;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ),求出sinβ,再求出cos(α+β)=-42
9
,通過sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ求sinα的值.解答:解:(Ⅰ)因為β∈(π 2
,π),cosβ<0(2分)
又cos2β=2cos2β-1=-7 9
,所以cosβ=-1 3
(6分)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ),得sinβ=1-cos2β
=22
3
(8分)
而α+β∈(π 2
,3π 2
),且sin(α+β)=7 9
,
所以cos(α+β)=-1-sin2(α+β)
=-42
9
故sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ(12分)
=7 9
×(-1 3
)-(-42
9
)×22
3
=1 3
(14分)點評:本題是基礎(chǔ)題,考查二倍角的余弦,平方關(guān)系的應用,角的變換技巧,注意角的范圍與三角函數(shù)值的符號,是解題中需要注意的.
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科目:高中數(shù)學
來源:
題型:
①已知tanα=1,α∈(0,π 2
),求2cos2α 2
-sinα-1 2
sin(π 4
+α)
的值;
②已知θ∈(0,π 2
),且sin(π 4
+θ)=3
2
,求sin(π 4
+2θ)的值.
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