Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求證：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD^平面PBD．

Answer 1

（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)，結(jié)合MA∥平面BPC，同理DA∥平面BPC來(lái)證明面面平行。
（2）根據(jù)題意，由于PB^平面ABCD ，通過(guò)性質(zhì)定理得到MF^BD ，進(jìn)而證明MF^平面PBD，得證。

解析試題分析：證明：（Ⅰ）∵PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，∴PB∥MA． 2分
∵PBÌ平面BPC，MA平面BPC，∴MA∥平面BPC．   4分
同理DA∥平面BPC，       5分
∵M(jìn)AÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，MA∩AD＝A，
∴平面AMD∥平面BPC．     7分
（Ⅱ）連結(jié)AC，設(shè)AC∩BD＝E，取PD中點(diǎn)F，連接EF，MF．
∵ABCD為正方形，∴E為BD中點(diǎn)．又F為PD中點(diǎn)，．
又，
∴．∴AEFM為平行四邊形．        10分
∴MF∥AE．
∵PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，∴PB^AE．∴MF^PB．  12分
因?yàn)锳BCD為正方形，∴AC^BD．∴MF^BD．
又，∴MF^平面PBD．                     13分
又MFÌ平面PMD．∴平面PMD^平面PBD．       14分
考點(diǎn)：面面平行和面面垂直
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)面面的位置關(guān)系，來(lái)結(jié)合判定定理來(lái)加以證明，屬于基礎(chǔ)題。