Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(2a+1)x+2lnx(a＞0)．
（1）若a=

1

2

，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若a≠

1

2

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是否有零點(diǎn)，若有，求出零點(diǎn)，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上最大值，由最大值符號(hào)可作出判斷．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f(x)=

1

4

x2-2x+2lnx(x＞0)，
f′（x）=

x

2

-2+

2

x

=

(x-2)2

2x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（1）=-

7

4

．
（2）∵f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

（x＞0）．   
即 f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

（x＞0）．  
∵

1

a

-2=

1-2a

a

，∵a＞0，a≠

1

2

∴當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，

1

a

＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞

1

a

，由f′（x）＜0，得2＜x＜

1

a

；
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，

1

a

＜2，由f′（x）＞0得0＜x＜

1

a

或x＞2，由f′（x）＜0，得

1

a

＜x＜，2；
所以當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2]和[

1

a

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2，

1

a

]；
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

1

a

]和[2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是[

1

a

，2]．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，f（x）在[1，

1

a

]上單調(diào)遞增，在[

1

a

，2]上單調(diào)遞減，
故f(x)max=f(

1

a

)=-2-

1

2a

-2lna．
由a＞

1

2

可知，lna＞ln

1

2

＞ln

1

e

=-1，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，則f（x）_max＜0，
故在區(qū)間[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上沒(méi)有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬中檔題．