已知函數(shù)f(x)=sin2x+2
3
sinxcosx+sin(x+
π
4
)sin(x-
π
4
)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x0(0≤x0≤
π
2
)為f（x）的一個零點，求sin2x0的值．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin(2x-
π
6
)+
1
2
，由此求得最小正周期和值域．
（2）由f(x0)=2sin(2x0-
π
6
)+
1
2
=0 求得sin(2x0-
π
6
)=-
1
4
＜0，根據(jù)x0的范圍可得2x0-
π
6
的范圍，從而求出cos(2x0-
π
6
)=
15
4
，再利用二倍角公式、兩角和的正弦公式求出sin2x0的值．
解答：解：（1）易得f(x)=sin2x+
3
sin2x+
1
2
(sin2x-cosx2)=
1-cos2x
2
+
3
sin2x-
1
2
cos2x=
3
sin2x-cos2x+
1
2
=2sin(2x-
π
6
)+
1
2
，
所以f（x）周期π，值域為[-
3
2
，
5
2
]；
（2）由f(x0)=2sin(2x0-
π
6
)+
1
2
=0，得sin(2x0-
π
6
)=-
1
4
＜0，
又由0≤x0≤
π
2
得-
π
6
≤2x0-
π
6
≤
5π
6
，
所以-
π
6
≤2x0-
π
6
≤0，故cos(2x0-
π
6
)=
15
4
，
此時，sin2x0=sin[(2x0-
π
6
)+
π
6
]=sin(2x0-
π
6
)cos
π
6
+cos(2x0-
π
6
)sin
π
6
=-
1
4
×
3
2
+
15
4
×
1
2
=
15
-
3
8
．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域、周期性，二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時有x2∈S，給出下列四個結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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同步練習(xí)冊答案